Algebra macierzy liczbowych

Podręcznik jest przeznaczony dla studentów pierwszego roku wyższych szkół technicznych. Omawia rachunek na skończonych macierzach liczbowych, a więc także na wektorach (mających dwie, trzy i dowolną liczbę współrzędnych) i liczbach zespolonych (jako że jedną z reprezentacji liczby zespolonej jest zapis macierzowy). Zamieszcza liczne przykłady, przedstawia wzory (np. z zakresu geometrii analitycznej – równania prostej i płaszczyny w rzeczywistej przestrzeni trzywymiarowej) i algorytmy (np. obliczania wyznacznika, wyznaczania rzędu, znajdowania rozwiązania układu równań algebraicznych liniowych) oraz kryteria (np. równoległości prostych na plaszczyźnie, istnienia wspólnego dzielnika dwóch wielomianów, stabilności wielomianów w sensie Hurwitza). Szczególniejszą uwagę zwraca na relację równoważności i generowane przez nią klasy abstrakcji oraz na izomorficzną nierozróżnialność określonych struktur algebraicznych (takich jak grupa, pierścień, ciało i przestrzeń liniowa), w ten sposób wprowadzając czytelnika w algebrę abstrakcyjną Spis treści: Wstęp 3 Uwagi edytorskie 4 1. O zbiorach i funkcjach 5 1-a. Aksjomatyczna struktura matematyki 5 1-b. Wybrane wiadomości o zbiorach 7 1-c. Podstawowe wiadomości o funkcjach 9 1-d. Relacja równoważności 14 1-e. Ciągi 18 1-f. Multifunkcja 20 2. Zbiory liczbowe i abstrakcyjne struktury algebraiczne 21 2-a. Klasyczne zbiory liczbowe 22 2-b. Grupa 25 2-c. Pierścień 32 2-d. Ciało 34 2-e. Rozszerzenie zbioru liczbowego 35 3. Przestrzeń liniowa 37 3-a. Definicja przestrzeni liniowej 37 3-b. Kombinacja liniowa i liniowa niezależność 40 3-c. Baza przestrzeni liniowej i reprezentacja elementu w bazie 42 4. Wektory na płaszczyźnie euklidesowej 45 4-a. Euklidesowy wektor zaczepiony 46 4-b. Geometryczny wektor zaczepiony 48 4-c. Kartezjański wektor zaczepiony 54 4-d. Wektor swobodny 55 4-e. Iloczyn skalarny wektorów i ortogonalność wektorów 58 4-f. Równoległość wektorów 62 4-g Iloczyn skalarny w opisie zależności fizycznych w R 2 64 5. Wektory w przestrzeni R3 66 5-a. Wektor zaczepiony 66 5-b. Wektor swobodny 68 5-c. Iloczyn skalarny wektorów i ortogonalność wektorów 70 5-d. Równania prostej i płaszczyzny w przestrzeni R3 71 5-e. Iloczyn wektorowy 74 5-f. Iloczyn mieszany wektorów 76 5-g Iloczyn skalarny w opisie zależności fizycznych w R3 77 6. Algebra n-wymiarowych wektorów rzeczywistych 79 6-a. Wektory w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej 79 6-b. Iloczyn skalarny w Rn 82 7 Liczby zespolone 87 7-a. Liczby zespolone w postaci kartezjańskiej 87 7-b Postać gaussowska, hamiltonowska liczby zespolonej 93 7-c. Postać trygonometryczna liczby zespolonej 95 7-d. Wzór de Moivre’a 96 7-e. Pierwiastkowanie liczby zespolonej 98 7-f. Zasadnicze twierdzenie algebry 100 7-g. Logarytm liczby zespolonej 101 7-h. Eksponens, kosinus i sinus zmiennej zespolonej 102 7-i. Wzór Eulera i postać wykładnicza liczby zespolonej 103 7-j. Najpiękniejszy wzór na świecie 104 7-k. Równoważnik rzeczywisty funkcji zmiennej zespolonej 105 8 Podstawy rachunku macierzowego 108 8-a. Definicja macierzy 108 8-b. Wektory, czyli macierze jednokolumnowe oraz jednowierszowe 115 8-c. Bloki i podmacierze 116 8-d. Transponowanie macierzy 188 8-e. Dodawanie i skalowanie macierzy 119 8-f. Mnożenie macierzy 120 8-g. Macierze permutacyjne 123 8-h. Macierze skalujące i sumujące 126 8-i. Elementarna równoważność macierzy i pivot 128 8-j. Ural 131 8-k. Izometrie płaszczyzny rzeczywistej i zespolonej 133 8-l. Endomorfizm i jego macierz 137 8-m. Iloczyn Kroneckera 138 9. Funkcje liczbowe macierzy liczbowej 139 9-a. Wyznacznik 139 9-b. Rząd macierzy 149 9-c. Wyznacznik w geometrii płaskiej 153 9-d. Wyznacznik w trzywymiarowej geometrii euklidesowej 156 9-e. Wyznaczniki stowarzyszone z wielomianami 159 9-f. Macierzowa reprezentacja liczb zespolonych 164 9-g. Ślad macierzy 165 9-h. Normy macierzowe 166 10. Odwracanie macierzy 168 10-a. Macierz odwrotna 168 10-b. Wyznacznikowe wyliczanie macierzy odwrotnej 170 10-c. Algorytm Gaussa odwracania macierzy 172 10-d. Podobieństwo macierzy 177 10-e. Reprezentacja macierzowa układu wektorów 179 10-f. Macierz zamiany baz 181 10-g. Grupy macierzowe 187 10-h. Kwaterniony 188 11 Rozwiązywanie uralów 191 11-a. Wzór prosty 191 11-b. Wzory Cramera 194 11-c. Metoda eliminacji Gaussa 197 11-d. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego 204 11-e. Rozkład trójkątny 210 11-f. Wskaźnik uwarunkowania macierzy 214 11-g. Twierdzenie Buckinghama 217 11-h. Wyznaczanie wspólnego dzielnika wielomianów 222 11-i. Zagadnienie transportowe 224 11-j. Ural jako kombinacja liniowa i jego rozwiązanie fundamentalne 230 Dodatek. Krótkie zestawienie podstawowych pojęć algebry abstrakcyjnej 234 Bibliografia 235