Pierwotnie jego imię brzmiało Szaja, od około 1925 roku stosował imiona Szaja lub Szymon, od około 1928 roku Stanisław, od 1968 roku Jehoszua.
Był też tłumaczem literatury niemieckiej (m.in. dzieł Brechta) i żydowskiej (m.in. Szolema Alejchema i Asza).
Już jako uczeń związał się z ruchem komunistycznym i wstąpił do partii. Za działalność komunistyczną został w 1926 r. wydalony przed maturą ze szkoły i skazany na 2 lata więzienia.
Był posiadaczem paragwajskiego paszportu wystawionego przez Grupę Ładosia, co pomogło mu przeżyć wojnę. W latach 1943–1945 najpierw przeżył getto będzińskie, a potem był więźniem obozów koncentracyjnych: Auschwitz-Birkenau, Sachsenhausen-Oranienburg .
Sam przeżył, gdyż jego dawka okazała się zbyt mała. Dlatego też jednym z przewodnich motywów powojennej poezji Wygodzkiego jest ból po stracie córki. Po wyzwoleniu w 1945 r. z obozu przejściowego w Niemczech wrócił do kraju. Wcześniej w monachijskim szpitalu, gdzie leczył gruźlicę, poznał swą przyszłą żonę, Irenę, która pochodziła z Katowic i z którą 11 marca 1946 r. wziął ślub. Ich dzieci otrzymały imiona Adam i Ewa.
Zamieszkał na stałe w Tel Awiwie. Syn Adam wyjechał do Szwajcarii, a córka do Hiszpanii. W 1969 r. nawiązał współpracę z literacką prasą hebrajską, m.in. z wychodzącym w Tel Awiwie pismem „Maariw” oraz z wydawanymi w języku polskim czasopismami „Nowiny-Kurier” i „Przegląd”. Wstąpił do Związku Pisarzy Hebrajskich oraz Hebrajskiego PEN Clubu. Do Polski już nie przyjechał, choć w 1981 r. spędził kilka dni w Wiedniu, daremnie oczekując na obiecaną wizę, by skorzystać z zaproszenia na Kongres Kultury Polskiej (doczekał się tylko wiadomości o wprowadzeniu stanu wojennego). Zmarł w Giwatajim. Nie chciał mieć grobu, więc prochy poety rozrzucono na pustyni. Wdowa po pisarzu, Irena Wygodzka, kilka lat później zamieszkała w Warszawie.
Został laureatem nagrody Związku byłych Więźniów Bergen-Belsen (1969) oraz w 1972 r. nagrody państwowej im. prezydenta Izraela Zalmana Szazara, przyznanej za twórczość o Holokauście dla pisarzy repatriantów.
W swej twórczości przedstawia obraz martyrologii Żydów w czasie II wojny światowej oraz powojenne losy mieszkańców środkowo-wschodniej Europy. W swoich utworach poruszał motywy związane z człowiekiem, zagładą, moralnością, egzystencjalizmem.
Utrzymywał serdeczne kontakty z polskimi literatami: Wisławą Szymborską, Anną Kamieńską, Marią Bojarską i Tadeuszem Borowskim (11 marca 1946 r. był świadkiem na ślubie z Ireną). Jedno z opowiadań Tadeusza Borowskiego, o sosnowieckich i będzińskich Żydach wywożonych transportem do obozu, powstało prawdopodobnie pod wpływem opowieści Wygodzkiego.