Studiował etnografię, w 1984 obronił doktorat z etnologii, w 1993 habilitował się w zakresie socjologii. Od 1998 profesor tytularny.
Pracował w Katedrze Kulturoznawstwa Instytutu Nauk Humanistycznych SWPS, prezes Instytutu im. Oskara Kolberga. Do 2018 pracował także w Zakładzie Badań Narodowościowych Instytutu Slawistyki PAN w Warszawie. Do 2003 związany z Instytutem Etnologii i Antropologii Kulturowej Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu. Członek Komitetu Nauk o Kulturze PAN, w tym w latach 2011–2015 jego przewodniczący. Naukowiec wizytujący na Uniwersytecie Oksfordzkim, École Pratique Des Hautes Études (Sorbona), Uniwersytecie Yale, Uniwersytecie Illinois. Stypendysta Fulbrighta i Fundacji Kościuszkowskiej.
Jego naukowe zainteresowania ogniskowały się wokół teorii i historii kultury, antropologii współczesności, badań nad kulturą i fenomenem etniczności. Zajmował się problematyką kultury neoliberalizmu, rasizmem kulturowym i teorią nomadyzmu pretekstowego. Autor ponad 400 publikacji naukowych, m.in. popularnego podręcznika Antropologia kultury.
Zasiadał w radach naukowych kilkunastu czasopism krajowych i międzynarodowych, m.in. „Kultura i Historia”, „Autoportret” i „Contradictions”; redaguje rocznik „Sprawy Narodowościowe. Seria Nowa”. Był członkiem założycielem Fundacji Instytut im. Jerzego Kmity oraz Polskiego Instytutu Antropologii. Był przewodniczącym Rady Naukowej „Przeglądu Kulturoznawczego”.
W 2011 w rozdziale „W Polsce lokalnej. Między uczestnictwem w kulturze a praktykami kulturowymi”, zamieszczonym w książce Stan i zróżnicowanie kultury wsi i małych miast w Polsce. Kanon i rozproszenie (Narodowe Centrum Kultury, Warszawa 2011) pod redakcją naukową Izabelli Bukraby-Rylskiej i jego własną, wykorzystał bez podania źródła i autora ani oznaczenia cytatów, a także bez zgody samego autora, dwie strony z artykułu Mateusza Halawy (wówczas doktoranta The New School w Nowym Jorku i Instytutu Studiów Społecznych Uniwersytetu Warszawskiego) Wyobraźnia etnograficzna w badaniach kultury współczesnej z czasopisma „Kultura Współczesna”. Na prośbę prawnika Halawy, Burszta opublikował w „Kulturze Współczesnej” oficjalne przeprosiny. Burszta uzasadnił plagiat pomyłką przy obróbce redakcyjnej.
Prochy profesora spoczęły 15 lutego 2021 na cmentarzu Powązki Wojskowe.
Syn etnografa Józefa Burszty. Ojciec Michała Burszty (ur. 1980), dziennikarza filmowego, Jędrzeja, krytyka popkultury oraz Matyldy.
Był miłośnikiem literatury współczesnej, w tym kryminałów, klasycznego rocka i angielskiej piłki nożnej. Mieszkał w Milanówku.