Mamy kartkę A4. Jej grubość wynosi powiedzmy d=0,1 milimetra. Ile razy (N) trzeba ją składać na pół, by grubość pliku kartek sięgnął Księżyca (s=384404 km)?

Jutro matura z matematyki, może takie coś się pojawi do przeliczenia, choć nie wiem czy w szkole są jeszcze logarytmy i kilka ich podstawowych właściwości addytywnych i multiplikatywnych?

Fizyczny komentarz. Nie uwzględniamy oczywistej warstwy oddzielającej kartki, która z powodu odpychania elektromagnetycznego musi istnieć. Przyjmujemy, że ta okoliczność nie występuje. Poza tym od pewnego momentu sam proces składania byłby niemożliwy do przeprowadzenia ze względu na potrzebę przyłożenia ogromnej siły. Normalnie każdy człowiek powinien dać radę złożyć kartkę z 6-7 razy (rekord świata z bardzo cienkim papierem toaletowym wynosi 12x).

Samo zadanie to kilka prostych kroków. Końcowy wzór ogólny (można zmieniać w nim grubość kartki, wysokość pliku):

N=lg(s/d)÷lg2

Podstawiając ‘s’ i ‘d’ do wzoru (trzeba tylko odległość do Księżyca wyrazić w milimetrach, albo grubość kartki w kilometrach) dostajemy:

N≈41,8

Czyli właściwie trzeba tylko 42 razy złożyć kartkę, by plik sięgnął Księżyca!

Jeszcze prostszy rachunek pokazuje, że taka kartka A4 złożona 42 razy miałaby wymiary ok. 0,14 mikrometra na 0,1 mikrometra (przy założeniu że składamy zawsze prostopadle do aktualnie dłuższej krawędzi by zachować proporcje pierwotne kartki).

Jak dawno temu dowiedziałem się o tym, to wydało mi się 42 bardzo małą liczbą!

=====

Aneks

Logarytm to bardzo prosta operacja, którą najłatwiej zapamiętać poprzez proces dla niego odwrotny.

Np.: ‘logarytm o podstawie dziesięć ze 100’ wynosi 2, bo dziesięć do potęgi drugiej to 100.

Podobnie to wygląda przy innych podstawach. Symbol logarytmu oznacza się przez ‘log’, zaś ‘lg’ jest specjalnym oznaczeniem dla właśnie najpopularniejszego logarytmu o podstawie dziesięć (to jest we wzorze). Jest jeszcze ‘ln’ dla zapisu logarytmu z podstawą równą stałej ‘e’.

Doprowadzenie do wzoru w tej postaci wymagało zastosowania trzech prostych właściwości logarytmu – pierwsza związana z możliwością zmiany podstawy logarytmu (w konstruowaniu wzoru do rozwiązania zadania pojawi się od razu podstawa 2 i by ułatwić sobie zapis i użyć ‘lg’ zmieniłem podstawę na 10), druga to równość sumy logarytmów dwóch liczb z logarytmem iloczynu tych liczb, a trzecia wynika z równości różnicy logarytmów dwóch liczb z logarytmem ilorazu tych liczb.